14.6.06

Todos contra todos

Si n equipos jugaran todos contra todos:

¿Cuántos partidos se jugarían?

¿Cuántos puntos podrían sumarse en total entre los obtenidos por todos los equipos?

¿Cuántas tablas de posiciones diferentes podrían obtenerse considerando sólo las posiciones relativas de los equipos?

¿Cuántas combinaciones de resultados (considerando todos los partidos) podrían darse?

Ejemplo para n = 3:

3 partidos; entre 6 y 9 puntos; 6 tablas sin considerar la posibilidad de empates en las posiciones; 27 combinaciones diferentes.

7 comments:

Anonymous said...

bueno el numero de partidos de una liga esta dado por la ecuacion np=n^2/2-n/2, donde n es el numero de equipos, la menor cantidad de puntos es min=np*2 y la mayor max=np*3,para 4 equipos hay 729 tablas posibles teniendo en cuenta el orden de los equipos. con eso y por inspeccion creo que el numero de tablas posibles tp=3^np.

Saludos

Carlos Maffrand

Pd: muy bueno el blog.

dotuev said...

Perfecto

Lo que más me gusta es que el número total de partidos sale de considerar la suma de k para k = 1 hasta n-1, que da n (n-1) / 2 = n^2 / 2 - n/2

Saludos

Anonymous said...

Tan sólo me limitaré a exponer las fórmulas, las deducciones las hice aparte.

Todos contra todos:

Si n equipos jugarán todos contra todos

1.- ¿Cuántos partidos se jugarían?

Para hallar el número de partidos “todos contra todos” se usa la fórmula:

p= (n)*(n-1) / 2

Donde p es igual al número de partidos y n es igual al número de equipos.

2.- ¿Cuántos puntos podrían sumarse en total entre los obtenidos por todos los equipos?

Los puntos a obtener estarían dentro del siguiente rango:

De (2*p), ((2*p) + 1), ((2*p)+2),…, (3*p) puntos.

Donde p es igual al número de partidos que se disputan.

3.- ¿Cuántas tablas de posiciones diferentes podrían obtenerse considerando sólo las posiciones relativas de los equipos?

t= 1*2*3*…*n

Donde t es igual al número de tablas de posiciones a obtener y n es igual al número de equipos.

4.- ¿Cuántas combinaciones de resultados (considerando todos los partidos) podrían darse?

c= 3 ^ p

Donde c es igual al número de combinaciones de resultados posibles y p es el número de partidos.

También podría agregar otras preguntas:

5.- Considerando el conjunto de n equipos, ¿cuántos partidos disputará cada equipo?

pde = n -1

Donde pde es igual al número de partidos disputados por cada equipo y n es igual al número de equipos.

6.- Tras disputarse los p partidos, ¿cuántas combinaciones de puntuaciones totales se obtendrían para cada equipo?

ce = 3 * pde

Donde ce es igual al número de combinaciones de puntuaciones totales por equipo y pde es igual al número de partidos que disputa cada equipo.

7.- ¿Cuál sería el puntaje total que NUNCA acumularía un equipos tras disputar sus pde partidos?

El puntaje que NUNCA acumularía un equipo sería:

pn = (3 * pde) – 1

Donde pn es igual al puntaje que NUNCA acumularía un equipo y pde es igual al número de partidos que disputa cada equipo.

8.- Tomando como referencia la pregunta anterior, ¿Cuáles serían entonces las diversas opciones de puntuación para cada equipo?

Las opciones serían:

(3 * pde), ((3 * pde) – 2), ((3 * pde) – 3),…, ((3 * pde) – (3 * pde))

9.- ¿Cuál sería el número de puntos con los que quedarían empatados los n equipos?

Hay 2 opciones de empate entre los n equipos:

pee = n y pee2 = n – 1

Donde pee es igual al número puntos con los que empatan los equipos y n es igual al número de equipos.

pee2 es la otra opción de empate de puntos de los equipos y n es igual al número de equipos.

EJEMPLO DE APLICACIÓN:

Se tiene un conjunto de 3 equipos: A, B y C.

1.- ¿Cuántos partidos se jugarían?

Aplicando la fórmula p= (n)*(n-1) / 2, se tiene: p= (3)*(3-1) / 2 = (3)*(2) / 2= 6 / 2 = 3.

Se jugarían 3 partidos.
Estos serían:

A VS B A VS C A VS B

2.- ¿Cuántos puntos podrían sumarse en total entre los obtenidos por todos los equipos?

Aplicando la fórmula: (2*p), ((2*p) + 1), ((2*p)+2),…, (3*p), sería entonces:

(2*3), ((2*3)+1), ((2*p)+2),…;(3*p), por lo tanto tenemos:

(6), (6+1), (6+2),…(3*3), simplificando, (6), (7), (8),…(9). Resumiendo, los puntos que podría obtenerse serían: 6, 7, 8 y 9.

Para que la suma total de puntos fuera 6, sólo hay una opción, tendría que haber 3 empates.

Para que la suma total de puntos fuera 7, una opción sería, que A tiene que ganar a B y empatar con C, B tiene que perder con A y empatar con C, y C tendría que empatar con A y con B.

Para que la suma fuera 8, una opción sería, que A tiene que ganar a B y perder con C, que B tiene que perder con A y empatar con C y que C tiene que perder con A y empatar con B.

Para que la suma fuera 9, una opicón sería, que A tiene que ganar a B y C, B tiene que perder con A y ganar a C, y C tiene que perder con A y B.

3.- ¿Cuántas tablas de posiciones diferentes podrían obtenerse considerando sólo las posiciones relativas de los equipos?

Aplicando la fórmula: t= 1*2*3*…*n ; se tiene: t = 1*2*3 = 6

Se obtendrían 6 tablas de posiciones diferentes:

Estas serían:

1.- A en1º, B en 2º y C en 3º
2.- A en 1º, B en 3º y C en 2º
3.- A en 2º, B en 1º y C en 3º
4.- A en 2º, B en 3º y C en 1º
5.- A en 3º, B en 2º y C en 1º
6.- A en 3º, B en 1º y C en 2º

4.- ¿Cuántas combinaciones de resultados (considerando todos los partidos) podrían darse?

Aplicando la fórmula c= 3 a la potencia p = 3 a la potencia 3 = 3*3*3 = 27

Se obtendrían 27 Resultados y estos serían:

1.- A gana a B y C, B pierde con A y gana a C, C pierde con A y B.
2.- A gana a B y C, B pierde con A y C, C pierde con A y gana a B.
3.- A gana a B y C, B pierde con A y empata con C, C pierde con A y empata con B.

4.- A gana a B y pierde con C, B pierde con A y gana a C, C gana a A y pierde con B.
5.- A gana a B y pierde con C, B pierde con A y C, C gana a A y B.
6.- A gana a B y pierde con C, B pierde con A y empata con C, C gana a A y empata con B

7.- A gana a B y empata con C, B pierde con A y gana a C, C empata con A y pierde con B.
8.- A gana a B y empata con C, B pierde con A y C, C empata con A y gana a B.
9.- A gana a B y empata con C, B pierde con A y empata con C, C empata con A y B.

10.- A pierde con B y gana a C, B gana a A y C, C pierde con A y B.
11.- A pierde con B y gana a C, B gana a A y pierde con C, C pierde con A y gana a B.
12.- A pierde con B y gana a C, B gana a A y empata con C, C pierde con y empata con B.

13.- A pierde con B y C, B gana a A y C, C gana a A y pierde con B.
14.- A pierde con B y C, B gana a A y pierde con C, C gana a A y B.
15.- A pierde con B y C, B gana a A y empata con C, C gana a A y empata con B.

16.- A pierde con B y empata con C, B gana a A y C, C empata con A y pierde con B
17.- A pierde con B y empata con C, B gana a A y pierde con C, C empata con A y gana a B.
18.- A pierde con B y empata con C, B gana a A y empata con C, C empata con A y B
19.- A empata con B y gana a C, B empata con A y gana a C, C pierde con A y B.
20.- A empata con B y gana a C, B empata con A y pierde con C, C pierde con A y gana a B.
21.- A empata con B y gana a C, B empata con A y C, C pierde con A y empata con B.

22.- A empata con B y pierde con C, B empata con A y gana a C, C gana a A y pierde con B.
23.- A empata con B y pierde con C, B empata con A y pierde con C, C gana a A y B.
24.- A empata con B y pierde con C, B empata con A y C, C gana a A y empata con B.

25.- A empata con B y C, B empata con A y gana a C, C empata con A y pierde con B.
26.- A empata con B y C, B empata con A y pierde con C, C empata con A y gana a B.
27.- A empata con B y C, B empata con A y C, C empata con A y B.

5.- Considerando el conjunto de n equipos, ¿cuántos partidos disputará cada equipo?

Aplicando la fórmula pde = n -1 entonces:

pde = 3 – 1 = 2

2 Partidos disputará cada equipo:

Los partidos que disputaría cada equipo serían:

A contra B y C; B cotra A y C; C contra A y B.

6.- Tras disputarse los p partidos, ¿cuántas combinaciones de puntuaciones totales se obtendrían para cada equipo?

ce = 3 * pde

ce = 3 * 2 = 6, entonces cada equipo tiene 6 combinaciones de puntuación total.

7.- ¿Cuál sería el puntaje total que NUNCA acumularía un equipos tras disputar sus pde partidos?

Aplicando la fórmula pn = (3 * pde) – 1 tendríamos:

pn = (3 * 2) – 1 = 6 – 1 = 5. El puntaje que nunca acumularía un equipo sería de 5 puntos.

8.- Tomando como referencia la pregunta anterior, ¿Cuáles serían entonces las diversas opciones de puntuación para cada equipo?

Aplicando la fórmula:

(3 * pde), ((3 * pde) – 2), ((3 * pde) – 3),…, ((3 * pde) – (3 * pde))

(3 * 2), ((3 * 2) – 2), ((3 * 2) – 3), ((3 * 2) – 4), ((3 * 2) – 5), ((3 * 2) – (3 * 2))

Resolviendo:

(6), (4), (3), (2), (1), (0). Entonces los puntajes que podría obtener un equipo serían entonces:
0 Puntos: Perder sus 2 partidos
1 Punto: Empatar un partido y perder el otro
2 Puntos: Empatar sus 2 partidos
3 Puntos: Ganar un partido y perder el otro
4 Puntos: Ganar un partido y empatar el otro
6 Puntos: Ganar sus 2 partidos.

9.- ¿Cuál sería el número de puntos con los que quedarían empatados los n equipos?

pee = n y pee2 = n – 1

Para la primera opción de empate se aplica la fórmula:

pee = 3 y pee2 = 3 – 1 = 2.

Por lo tanto, las 2 opciones de puntuación con los quedarían empatados los 3 equipos serían de 3 puntos y 2 puntos.

1.- Para que los equipos quedarán empatados con 2 puntos la combinación de resultados sería:

A empata con B, B empata con C y C empata con A

2.- Para que los equipos quedarán empatados con 3 puntos, una combinación sería:

A gana a B, B gana a C, C gana a A.

Existen otra combinaciones pero caen en el mismo caso, en el que empatan lo equipos en 3 puntos.

DEJO UN PROBLEMA AÑADIDO A LAS ANTERIORES:

10.- Supóngase una combinación VALIDA de puntuaciones totales por equipo, ¿Hallar una fórmula o método que permita encontrar la combinación de resultados posibles que producirían dichas puntuaciones?

Para ampliar la explicación del problema:

Tomando como ejemplo el de 3 equipos, una combinación válida de puntuaciones totales por equipo sería:

Puntos totales de A = 4 puntos
Puntos totales de B = 3 puntos
Puntos totales de C = 1 punto

La combinación de resultados que haría efectiva estas puntuaciones totales sería:

A gana a B, A empata con C, B gana a C.

SALUDOS DE:
Eng. Rey Carmesí

dotuev said...

Rey carmesí:

Gracias por la respuesta, es...¡francamente sorprendente!

Me llevo tu comentario para estudiar tanto la respuesta como el problema que propones.

Hasta luego!

Anonymous said...

Saludos dotuev...

La verdad es que me gustan las matemáticas, sobre todo la estadística,teoría combinatoria y demás cosillas pero más aún si se aplica al fútbol. Este blog ha sido un escaparate para mi alocado cerebro que por todos los modos trata de unificar las matemáticas con el fútbol, jejejeje.

No estudio matemáticas, estudio electricidad. Ha sido un verdadero placer conocer este blog.

Y bueno a ver si podemos resolver juntos la última pregunta que propuse, yo aún no la encuentro.

Hasta otra!!!

Eng. Rey Carmesí

dotuev said...

Muy pero muy interesante el último problema que planteas (el 10). Es un lindo desafío.

Anonymous said...

Ojalá y encuentres alguna forma de resolverlo Dotuev o al menos tengas algún avance, te pediría de favor me lo comuniques. De antemano gracias.

Eng. Rey Carmesí