21.3.06

Bolsa con bolitas


Variante de un Juego de Ingenuo

Tengo una bolsa con N bolitas, todas grises menos una que es roja. Saco una bolita, miro el color y la pongo de vuelta en la bolsa. Después de 60 extracciones, saco por primera vez la bolita roja. ¿Cuál es la cantidad más probable de bolitas que hay en la bolsa, es decir, cuál es el valor más probable de N?

3 comments:

Anonymous said...

Si la probabilidad de sacar la bolita roja es de 1/60 (y suponemos ese caso como probabilidad media puesto que no tenemos mas datos), el numero de bolitas totales más probables a priori es de 120.

dotuev said...

me parece que 60 bolitas es lo mas probable

Nemrod said...

Si G indica bolita gris, y R bolita roja, la probabilidad de que salga es:

1er tiro: R

P(1) = 1/N

2o tiro: GR

P(2) = ((N-1)/N) (1/N)

3er tiro: GGR

P(3) = ((N-1)/N)^2 (1/N)

4º tiro: GGGR

P(4) = ((N-1)/N)^3 (1/N)

60º tiro: GGGGG...GGGR

P(60) = ((N-1)/N)^59 (1/N)

Después si uno deriva P(60) con respecto a N, y calcula dP(60)/dN = 0, sale N = 60.

También puede graficarse P(60) vs. N para ver el máximo (ver archivo Excel: http://ar.geocities.com/muzarelax/BolsaBolitas.xls )

Nota: es más fácil derivar el ln P(60) que P(60).