Sheik Yerbouti está interesado en aumentar la cantidad de mujeres disponibles para los harenes, por lo cual impusó una ley que prohibe a las mujeres volver a concebir luego de haber dado a luz un hijo varón. Si en cambio concibieron una niña, pueden reincicir en la maternidad con total impunidad. El jeque explicó que de ese modo todas las familias tendrían a lo sumo un hijo varón, pero podrían tener cualquier número de hijas mujeres... con lo cual se conseguía el objetivo fijado.
La pregunta es ¿está en lo correcto Sheik Yerbouti?
Es interesante considerar dos casos diferentes:
a) todas las madres tienen una probabilidad de 1/2 de concebir un hijo varón;
b) el 50% de las madres tiene una probabilidad de 1/3 de concibir varones y el otro 50% tiene 2/3 (de modo que todas las madres en conjunto conservan la probabilidad 1/2 de concebir varones). Esto quiere decir que estamos considerando que existe cierta predisposición (posiblemente genética) para engendrar vástagos de un determinado género.
5 comments:
Buena foto la que elegiste para el problema!
El número de hijas mujeres de una familia, sigue una distribución geométrica. Eso sinifica que si la probablidad de que nazca un hombre es p, entonces el número esperado de mujeres de una familia es: (1-p)/p.
En el primer caso, p = 1/2, y entonces el número esperado de mujeres es 1 (lo que implica además que hay un sólo hombre, si asumimos que todas las familias tienen hijos hasta que les sale un hombre, y si no asumimos esto, la película se complica... podría ser interesante estudiarlo aparte). En fin, la cosa es que hay tantos hombres como mujeres, y Yerbouti fracasó.
En el segundo caso, las familias con p = 1/3 tendrán 2 hijas y un hijo en promedio, y las con p = 2/3, media hija y un hijo en promedio. Promediando ambas, las familias tendrán en promedio 1,25 hijas y 1 hijo...
Conclusión: Sheik Yerbouti sabía de genética!
Muy interesante el enfoque probabilistico, yo lo habia encarado mas por el lado de series, que es mucho mas largo.
Por ejemplo, para el caso de p = 1/2, llego a:
a = b = m * (1/2+1/4+1/8+...) = m
(m=madres, b=hijos varones, a=hijas mujeres)
la suma 1/2+1/4+1/8+... da 1 y se llega al mismo resultado: hay tantas hijas como hijos, y es igual al numero de madres.
Para el 2o caso, hay que hacer las cuentas por separado para p = 1/3 y p = 2/3.
para p = 1/3:
a' = m/2 * (1/3+1/9+1/27+...) = m/4
b' = m/2 * (2/3+2/9+2/27+...) = m/2
para p = 2/3:
a'' = m
b'' = m/2
En total
a = 5/4 m
b = m
O sea, el mismo resultado obtenido con muchas mas cuentas, je!
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